Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 692 / 180
↖ ↑ ↗
← N 75.140778°
E 63.281250°		 ← 10.025 km → N 75.140778°
E 63.632812°		 →
↑
10.055 km
↓
↑
10.055 km
↓
N 75.050353°
E 63.281250°		 ← 10.085 km →
101.098 km²		 N 75.050353°
E 63.632812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.67626953125 y=0.17626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.67626953125 × 210)
    floor (0.67626953125 × 1024)
    floor (692.5)     		tx = 692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17626953125 × 210)
    floor (0.17626953125 × 1024)
    floor (180.5)     		ty = 180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 692 / 180 ti = "10/692/180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/692/180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 692 ÷ 210
    692 ÷ 1024     		x = 0.67578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 180 ÷ 210
    180 ÷ 1024     		y = 0.17578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67578125 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17578125 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03712648625391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.10446617} λ = 1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03712648625391))-π/2
    2×atan(7.66854184823222)-π/2
    2×1.44112515130493-π/2
    2.88225030260985-1.57079632675     		φ = 1.31145398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31145398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.140778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 692 KachelY 180 1.10446617 1.31145398 63.281250 75.140778
    Oben rechts KachelX + 1 693 KachelY 180 1.11060209 1.31145398 63.632812 75.140778
    Unten links KachelX 692 KachelY + 1 181 1.10446617 1.30987577 63.281250 75.050353
    Unten rechts KachelX + 1 693 KachelY + 1 181 1.11060209 1.30987577 63.632812 75.050353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31145398-1.30987577) × R
    0.00157820999999991 × 6371000     		dl = 10054.7759099994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31145398-1.30987577) × R
    0.00157820999999991 × 6371000     		dr = 10054.7759099994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.10446617-1.11060209) × cos(1.31145398) × R
    0.00613591999999996 × 0.256444946876806 × 6371000     		do = 10024.9320973433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.10446617-1.11060209) × cos(1.30987577) × R
    0.00613591999999996 × 0.257970059699188 × 6371000     		du = 10084.5517259278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31145398)-sin(1.30987577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256444946876806-0.257970059699188)×R²
    abs(1.11060209-1.10446617)×0.00152511282238144×R²
    0.00613591999999996×0.00152511282238144×6371000²
    0.00613591999999996×0.00152511282238144×40589641000000     		ar = 101098197.738521m²