Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
4 / 7 / 10
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
W 22.500000°		 ← 1 888.773 km → S 40.979898°
E  0.000000°		 →
↑
1 645.315 km
↓
↑
1 645.315 km
↓
S 55.776573°
W 22.500000°		 ← 1 407.114 km →
2 726 557 km²		 S 55.776573°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46875 y=0.65625 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46875 × 24)
    floor (0.46875 × 16)
    floor (7.5)     		tx = 7
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65625 × 24)
    floor (0.65625 × 16)
    floor (10.5)     		ty = 10
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 7 / 10 ti = "4/7/10"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/7/10.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7 ÷ 24
    7 ÷ 16     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10 ÷ 24
    10 ÷ 16     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7 KachelY 10 -0.39269908 -0.71523415 -22.500000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 8 KachelY 10 0.00000000 -0.71523415 0.000000 -40.979898
    Unten links KachelX 7 KachelY + 1 11 -0.39269908 -0.97348484 -22.500000 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 8 KachelY + 1 11 0.00000000 -0.97348484 0.000000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.97348484) × R
    0.25825069 × 6371000     		dl = 1645315.14599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.97348484) × R
    0.25825069 × 6371000     		dr = 1645315.14599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908-0.00000000) × cos(-0.71523415) × R
    0.39269908 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 1888772.96374029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908-0.00000000) × cos(-0.97348484) × R
    0.39269908 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 1407114.41054498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.562421509722991)×R²
    abs(0.00000000--0.39269908)×0.19251819797239×R²
    0.39269908×0.19251819797239×6371000²
    0.39269908×0.19251819797239×40589641000000     		ar = 2726557197537.72m²