Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 703 / 1471
↖ ↑ ↗
← S 61.522695°
W 56.425781°		 ← 9 319.76 m → S 61.522695°
W 56.250000°		 →
↑
9 307.20 m
↓
↑
9 307.20 m
↓
S 61.606397°
W 56.425781°		 ← 9 294.65 m →
86 624 045 m²		 S 61.606397°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343505859375 y=0.718505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343505859375 × 211)
    floor (0.343505859375 × 2048)
    floor (703.5)     		tx = 703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718505859375 × 211)
    floor (0.718505859375 × 2048)
    floor (1471.5)     		ty = 1471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 703 / 1471 ti = "11/703/1471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/703/1471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 703 ÷ 211
    703 ÷ 2048     		x = 0.34326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1471 ÷ 211
    1471 ÷ 2048     		y = 0.71826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98481567} λ = -0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37137882433057))-π/2
    2×atan(0.253756832131977)-π/2
    2×0.248511367653049-π/2
    0.497022735306097-1.57079632675     		φ = -1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 703 KachelY 1471 -0.98481567 -1.07377359 -56.425781 -61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 704 KachelY 1471 -0.98174770 -1.07377359 -56.250000 -61.522695
    Unten links KachelX 703 KachelY + 1 1472 -0.98481567 -1.07523446 -56.425781 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 704 KachelY + 1 1472 -0.98174770 -1.07523446 -56.250000 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07377359--1.07523446) × R
    0.00146086999999984 × 6371000     		dl = 9307.20276999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07377359--1.07523446) × R
    0.00146086999999984 × 6371000     		dr = 9307.20276999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98481567--0.98174770) × cos(-1.07377359) × R
    0.00306797000000003 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 9319.75802415892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98481567--0.98174770) × cos(-1.07523446) × R
    0.00306797000000003 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 9294.64875720345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07377359)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.98174770--0.98481567)×0.00128462189662637×R²
    0.00306797000000003×0.00128462189662637×6371000²
    0.00306797000000003×0.00128462189662637×40589641000000     		ar = 86624044.5843612m²