Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 703 / 961
↖ ↑ ↗
← S 82.720964°
E 67.148437°		 ← 4 953.02 m → S 82.720964°
E 67.500000°		 →
↑
4 937.97 m
↓
↑
4 937.97 m
↓
S 82.765373°
E 67.148437°		 ← 4 922.97 m →
24 383 676 m²		 S 82.765373°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68701171875 y=0.93896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68701171875 × 210)
    floor (0.68701171875 × 1024)
    floor (703.5)     		tx = 703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93896484375 × 210)
    floor (0.93896484375 × 1024)
    floor (961.5)     		ty = 961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 703 / 961 ti = "10/703/961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/703/961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 703 ÷ 210
    703 ÷ 1024     		x = 0.6865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 961 ÷ 210
    961 ÷ 1024     		y = 0.9384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17196132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    -0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17196132} λ = 1.17196132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75502949496387))-π/2
    2×atan(0.0636071435507032)-π/2
    2×0.0635215691379293-π/2
    0.127043138275859-1.57079632675     		φ = -1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17196132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.148437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 703 KachelY 961 1.17196132 -1.44375319 67.148437 -82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 704 KachelY 961 1.17809725 -1.44375319 67.500000 -82.720964
    Unten links KachelX 703 KachelY + 1 962 1.17196132 -1.44452826 67.148437 -82.765373
    Unten rechts KachelX + 1 704 KachelY + 1 962 1.17809725 -1.44452826 67.500000 -82.765373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375319--1.44452826) × R
    0.000775069999999989 × 6371000     		dl = 4937.97096999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375319--1.44452826) × R
    0.000775069999999989 × 6371000     		dr = 4937.97096999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17196132-1.17809725) × cos(-1.44375319) × R
    0.0061359299999999 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 4953.02284949778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17196132-1.17809725) × cos(-1.44452826) × R
    0.0061359299999999 × 0.125932805725766 × 6371000     		du = 4922.96650453759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375319)-sin(-1.44452826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.125932805725766)×R²
    abs(1.17809725-1.17196132)×0.000768861589289627×R²
    0.0061359299999999×0.000768861589289627×6371000²
    0.0061359299999999×0.000768861589289627×40589641000000     		ar = 24383675.5858175m²