Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 704 / 448
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
E 67.500000°		 ← 36.260 km → N 21.943045°
E 67.851563°		 →
↑
36.301 km
↓
↑
36.301 km
↓
N 21.616579°
E 67.500000°		 ← 36.343 km →
1 317.79 km²		 N 21.616579°
E 67.851563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68798828125 y=0.43798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68798828125 × 210)
    floor (0.68798828125 × 1024)
    floor (704.5)     		tx = 704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43798828125 × 210)
    floor (0.43798828125 × 1024)
    floor (448.5)     		ty = 448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 704 / 448 ti = "10/704/448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/704/448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 704 ÷ 210
    704 ÷ 1024     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 448 ÷ 210
    448 ÷ 1024     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 704 KachelY 448 1.17809725 0.38297839 67.500000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 705 KachelY 448 1.18423317 0.38297839 67.851563 21.943045
    Unten links KachelX 704 KachelY + 1 449 1.17809725 0.37728048 67.500000 21.616579
    Unten rechts KachelX + 1 705 KachelY + 1 449 1.18423317 0.37728048 67.851563 21.616579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.37728048) × R
    0.00569791000000003 × 6371000     		dl = 36301.3846100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.37728048) × R
    0.00569791000000003 × 6371000     		dr = 36301.3846100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.18423317) × cos(0.38297839) × R
    0.00613591999999996 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 36259.9604632173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.18423317) × cos(0.37728048) × R
    0.00613591999999996 × 0.929669925866356 × 6371000     		du = 36342.6068372857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.37728048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.929669925866356)×R²
    abs(1.18423317-1.17809725)×0.00211415347273658×R²
    0.00613591999999996×0.00211415347273658×6371000²
    0.00613591999999996×0.00211415347273658×40589641000000     		ar = 1317790424.92799m²