Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7040 / 11136
↖ ↑ ↗
← S 54.162434°
W 25.312500°		 ← 1 430.51 m → S 54.162434°
W 25.290527°		 →
↑
1 430.29 m
↓
↑
1 430.29 m
↓
S 54.175297°
W 25.312500°		 ← 1 430.07 m →
2 045 730 m²		 S 54.175297°
W 25.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429718017578125 y=0.679718017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429718017578125 × 214)
    floor (0.429718017578125 × 16384)
    floor (7040.5)     		tx = 7040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679718017578125 × 214)
    floor (0.679718017578125 × 16384)
    floor (11136.5)     		ty = 11136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7040 / 11136 ti = "14/7040/11136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7040/11136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7040 ÷ 214
    7040 ÷ 16384     		x = 0.4296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11136 ÷ 214
    11136 ÷ 16384     		y = 0.6796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4296875 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6796875 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44178647} λ = -0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12900985985156))-π/2
    2×atan(0.323353263018262)-π/2
    2×0.312741761588495-π/2
    0.62548352317699-1.57079632675     		φ = -0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7040 KachelY 11136 -0.44178647 -0.94531280 -25.312500 -54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 7041 KachelY 11136 -0.44140297 -0.94531280 -25.290527 -54.162434
    Unten links KachelX 7040 KachelY + 1 11137 -0.44178647 -0.94553730 -25.312500 -54.175297
    Unten rechts KachelX + 1 7041 KachelY + 1 11137 -0.44140297 -0.94553730 -25.290527 -54.175297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94531280--0.94553730) × R
    0.000224500000000072 × 6371000     		dl = 1430.28950000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94531280--0.94553730) × R
    0.000224500000000072 × 6371000     		dr = 1430.28950000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44178647--0.44140297) × cos(-0.94531280) × R
    0.000383499999999981 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 1430.51348445722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44178647--0.44140297) × cos(-0.94553730) × R
    0.000383499999999981 × 0.585307314487222 × 6371000     		du = 1430.0687773793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94531280)-sin(-0.94553730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.585307314487222)×R²
    abs(-0.44140297--0.44178647)×0.000182012438582069×R²
    0.000383499999999981×0.000182012438582069×6371000²
    0.000383499999999981×0.000182012438582069×40589641000000     		ar = 2045730.3950868m²