Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70656 / 68608
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
E 14.062500°		 ← 302.08 m → S  8.407168°
E 14.065246°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.409885°
E 14.062500°		 ← 302.08 m →
91 262 m²		 S  8.409885°
E 14.065246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539066314697266 y=0.523441314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539066314697266 × 217)
    floor (0.539066314697266 × 131072)
    floor (70656.5)     		tx = 70656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523441314697266 × 217)
    floor (0.523441314697266 × 131072)
    floor (68608.5)     		ty = 68608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70656 / 68608 ti = "17/70656/68608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70656/68608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70656 ÷ 217
    70656 ÷ 131072     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68608 ÷ 217
    68608 ÷ 131072     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70656 KachelY 68608 0.24543693 -0.14673277 14.062500 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 70657 KachelY 68608 0.24548486 -0.14673277 14.065246 -8.407168
    Unten links KachelX 70656 KachelY + 1 68609 0.24543693 -0.14678019 14.062500 -8.409885
    Unten rechts KachelX + 1 70657 KachelY + 1 68609 0.24548486 -0.14678019 14.065246 -8.409885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.14678019) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.14678019) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24548486) × cos(-0.14673277) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 302.080624392604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24548486) × cos(-0.14678019) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989247114120298 × 6371000     		du = 302.078506939426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.14678019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.989247114120298)×R²
    abs(0.24548486-0.24543693)×6.93423860875786e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.93423860875786e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.93423860875786e-06×40589641000000     		ar = 91262.1094647785m²