Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 708 / 324
↖ ↑ ↗
← N 54.977613°
E 68.906250°		 ← 22.435 km → N 54.977613°
E 69.257812°		 →
↑
22.491 km
↓
↑
22.491 km
↓
N 54.775346°
E 68.906250°		 ← 22.548 km →
505.853 km²		 N 54.775346°
E 69.257812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69189453125 y=0.31689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69189453125 × 210)
    floor (0.69189453125 × 1024)
    floor (708.5)     		tx = 708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31689453125 × 210)
    floor (0.31689453125 × 1024)
    floor (324.5)     		ty = 324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 708 / 324 ti = "10/708/324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/708/324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 708 ÷ 210
    708 ÷ 1024     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 324 ÷ 210
    324 ÷ 1024     		y = 0.31640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31640625 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15355355245703))-π/2
    2×atan(3.16943567791621)-π/2
    2×1.26516835010953-π/2
    2.53033670021907-1.57079632675     		φ = 0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 708 KachelY 324 1.20264094 0.95954037 68.906250 54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 709 KachelY 324 1.20877686 0.95954037 69.257812 54.977613
    Unten links KachelX 708 KachelY + 1 325 1.20264094 0.95601013 68.906250 54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 709 KachelY + 1 325 1.20877686 0.95601013 69.257812 54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95954037-0.95601013) × R
    0.00353024000000002 × 6371000     		dl = 22491.1590400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95954037-0.95601013) × R
    0.00353024000000002 × 6371000     		dr = 22491.1590400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20877686) × cos(0.95954037) × R
    0.00613591999999996 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 22434.7292361413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20877686) × cos(0.95601013) × R
    0.00613591999999996 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 22547.6044876726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95954037)-sin(0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.576783880319027)×R²
    abs(1.20877686-1.20264094)×0.00288742982012935×R²
    0.00613591999999996×0.00288742982012935×6371000²
    0.00613591999999996×0.00288742982012935×40589641000000     		ar = 505852936.239772m²