Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 708 / 580
↖ ↑ ↗
← S 23.241346°
E 68.906250°		 ← 35.920 km → S 23.241346°
E 69.257812°		 →
↑
35.876 km
↓
↑
35.876 km
↓
S 23.563987°
E 68.906250°		 ← 35.832 km →
1 287.09 km²		 S 23.563987°
E 69.257812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69189453125 y=0.56689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69189453125 × 210)
    floor (0.69189453125 × 1024)
    floor (708.5)     		tx = 708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56689453125 × 210)
    floor (0.56689453125 × 1024)
    floor (580.5)     		ty = 580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 708 / 580 ti = "10/708/580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/708/580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 708 ÷ 210
    708 ÷ 1024     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 580 ÷ 210
    580 ÷ 1024     		y = 0.56640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56640625 × 2 - 1) × π
    -0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417242774292969))-π/2
    2×atan(0.658860946025793)-π/2
    2×0.582579157361833-π/2
    1.16515831472367-1.57079632675     		φ = -0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 708 KachelY 580 1.20264094 -0.40563801 68.906250 -23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 709 KachelY 580 1.20877686 -0.40563801 69.257812 -23.241346
    Unten links KachelX 708 KachelY + 1 581 1.20264094 -0.41126916 68.906250 -23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 709 KachelY + 1 581 1.20877686 -0.41126916 69.257812 -23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40563801--0.41126916) × R
    0.00563115000000003 × 6371000     		dl = 35876.0566500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40563801--0.41126916) × R
    0.00563115000000003 × 6371000     		dr = 35876.0566500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20877686) × cos(-0.40563801) × R
    0.00613591999999996 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 35919.6670179252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20877686) × cos(-0.41126916) × R
    0.00613591999999996 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 35832.232528046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40563801)-sin(-0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.916614185303787)×R²
    abs(1.20877686-1.20264094)×0.0022366369063227×R²
    0.00613591999999996×0.0022366369063227×6371000²
    0.00613591999999996×0.0022366369063227×40589641000000     		ar = 1287091007.55191m²