Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 71 / 73
↖ ↑ ↗
← S 24.527135°
E 19.687500°		 ← 284.516 km → S 24.527135°
E 22.500000°		 →
↑
281.545 km
↓
↑
281.545 km
↓
S 27.059126°
E 19.687500°		 ← 278.503 km →
79 270.3 km²		 S 27.059126°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55859375 y=0.57421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55859375 × 27)
    floor (0.55859375 × 128)
    floor (71.5)     		tx = 71
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57421875 × 27)
    floor (0.57421875 × 128)
    floor (73.5)     		ty = 73
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 71 / 73 ti = "7/71/73"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/71/73.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71 ÷ 27
    71 ÷ 128     		x = 0.5546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73 ÷ 27
    73 ÷ 128     		y = 0.5703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5546875 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5703125 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34361170} λ = 0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441786466898437))-π/2
    2×atan(0.642886898433291)-π/2
    2×0.571358534035749-π/2
    1.1427170680715-1.57079632675     		φ = -0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71 KachelY 73 0.34361170 -0.42807926 19.687500 -24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 72 KachelY 73 0.39269908 -0.42807926 22.500000 -24.527135
    Unten links KachelX 71 KachelY + 1 74 0.34361170 -0.47227084 19.687500 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 72 KachelY + 1 74 0.39269908 -0.47227084 22.500000 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42807926--0.47227084) × R
    0.04419158 × 6371000     		dl = 281544.55618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42807926--0.47227084) × R
    0.04419158 × 6371000     		dr = 281544.55618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34361170-0.39269908) × cos(-0.42807926) × R
    0.04908738 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 284515.92125386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34361170-0.39269908) × cos(-0.47227084) × R
    0.04908738 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 278502.884780549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42807926)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.890537558006442)×R²
    abs(0.39269908-0.34361170)×0.0192272149043099×R²
    0.04908738×0.0192272149043099×6371000²
    0.04908738×0.0192272149043099×40589641000000     		ar = 79270340912.1614m²