Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7104 / 1216
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E132.187500°		 ← 1 060.47 m → N 77.466029°
E132.231446°		 →
↑
1 060.90 m
↓
↑
1 060.90 m
↓
N 77.456488°
E132.187500°		 ← 1 061.27 m →
1 125 476 m²		 N 77.456488°
E132.231446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.86724853515625 y=0.14849853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.86724853515625 × 213)
    floor (0.86724853515625 × 8192)
    floor (7104.5)     		tx = 7104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14849853515625 × 213)
    floor (0.14849853515625 × 8192)
    floor (1216.5)     		ty = 1216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7104 / 1216 ti = "13/7104/1216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7104/1216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7104 ÷ 213
    7104 ÷ 8192     		x = 0.8671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1216 ÷ 213
    1216 ÷ 8192     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8671875 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30710710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30710710} λ = 2.30710710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30710710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7104 KachelY 1216 2.30710710 1.35203726 132.187500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 7105 KachelY 1216 2.30787410 1.35203726 132.231446 77.466029
    Unten links KachelX 7104 KachelY + 1 1217 2.30710710 1.35187074 132.187500 77.456488
    Unten rechts KachelX + 1 7105 KachelY + 1 1217 2.30787410 1.35187074 132.231446 77.456488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35187074) × R
    0.000166519999999837 × 6371000     		dl = 1060.89891999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35187074) × R
    0.000166519999999837 × 6371000     		dr = 1060.89891999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30710710-2.30787410) × cos(1.35203726) × R
    0.00076699999999974 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 1060.47293711178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30710710-2.30787410) × cos(1.35187074) × R
    0.00076699999999974 × 0.217180980218041 × 6371000     		du = 1061.26723915097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35187074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217180980218041)×R²
    abs(2.30787410-2.30710710)×0.00016254840354657×R²
    0.00076699999999974×0.00016254840354657×6371000²
    0.00076699999999974×0.00016254840354657×40589641000000     		ar = 1125475.93335738m²