Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 711 / 201
↖ ↑ ↗
← N 73.124945°
E 69.960938°		 ← 11.348 km → N 73.124945°
E 70.312500°		 →
↑
11.381 km
↓
↑
11.381 km
↓
N 73.022592°
E 69.960938°		 ← 11.415 km →
129.532 km²		 N 73.022592°
E 70.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69482421875 y=0.19677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69482421875 × 210)
    floor (0.69482421875 × 1024)
    floor (711.5)     		tx = 711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19677734375 × 210)
    floor (0.19677734375 × 1024)
    floor (201.5)     		ty = 201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 711 / 201 ti = "10/711/201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/711/201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 711 ÷ 210
    711 ÷ 1024     		x = 0.6943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 201 ÷ 210
    201 ÷ 1024     		y = 0.1962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6943359375 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.22104871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1962890625 × 2 - 1) × π
    0.607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9082721000752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22104871} λ = 1.22104871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9082721000752))-π/2
    2×atan(6.74143021223999)-π/2
    2×1.423533693341-π/2
    2.84706738668201-1.57079632675     		φ = 1.27627106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22104871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.960938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27627106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.124945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 711 KachelY 201 1.22104871 1.27627106 69.960938 73.124945
    Oben rechts KachelX + 1 712 KachelY 201 1.22718463 1.27627106 70.312500 73.124945
    Unten links KachelX 711 KachelY + 1 202 1.22104871 1.27448465 69.960938 73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 712 KachelY + 1 202 1.22718463 1.27448465 70.312500 73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27627106-1.27448465) × R
    0.00178641000000002 × 6371000     		dl = 11381.2181100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27627106-1.27448465) × R
    0.00178641000000002 × 6371000     		dr = 11381.2181100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22104871-1.22718463) × cos(1.27627106) × R
    0.00613591999999996 × 0.290285591630776 × 6371000     		do = 11347.8287654997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22104871-1.22718463) × cos(1.27448465) × R
    0.00613591999999996 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 11414.6378083826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27627106)-sin(1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290285591630776-0.291994614822817)×R²
    abs(1.22718463-1.22104871)×0.00170902319204091×R²
    0.00613591999999996×0.00170902319204091×6371000²
    0.00613591999999996×0.00170902319204091×40589641000000     		ar = 129532332.847088m²