Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 712 / 1480
↖ ↑ ↗
← S 62.267923°
W 54.843750°		 ← 9 095.48 m → S 62.267923°
W 54.667969°		 →
↑
9 083.13 m
↓
↑
9 083.13 m
↓
S 62.349609°
W 54.843750°		 ← 9 070.80 m →
82 503 398 m²		 S 62.349609°
W 54.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347900390625 y=0.722900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347900390625 × 211)
    floor (0.347900390625 × 2048)
    floor (712.5)     		tx = 712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722900390625 × 211)
    floor (0.722900390625 × 2048)
    floor (1480.5)     		ty = 1480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 712 / 1480 ti = "11/712/1480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/712/1480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 712 ÷ 211
    712 ÷ 2048     		x = 0.34765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1480 ÷ 211
    1480 ÷ 2048     		y = 0.72265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34765625 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72265625 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95720401} λ = -0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39899047851172))-π/2
    2×atan(0.246846034575576)-π/2
    2×0.242008029276541-π/2
    0.484016058553082-1.57079632675     		φ = -1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 712 KachelY 1480 -0.95720401 -1.08678027 -54.843750 -62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 713 KachelY 1480 -0.95413605 -1.08678027 -54.667969 -62.267923
    Unten links KachelX 712 KachelY + 1 1481 -0.95720401 -1.08820597 -54.843750 -62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 713 KachelY + 1 1481 -0.95413605 -1.08820597 -54.667969 -62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08678027--1.08820597) × R
    0.00142569999999997 × 6371000     		dl = 9083.13469999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08678027--1.08820597) × R
    0.00142569999999997 × 6371000     		dr = 9083.13469999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95720401--0.95413605) × cos(-1.08678027) × R
    0.00306795999999998 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 9095.47749099402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95720401--0.95413605) × cos(-1.08820597) × R
    0.00306795999999998 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 9070.80251834162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08678027)-sin(-1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.95413605--0.95720401)×0.00126240696487301×R²
    0.00306795999999998×0.00126240696487301×6371000²
    0.00306795999999998×0.00126240696487301×40589641000000     		ar = 82503398.1361986m²