Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 712 / 200
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 11.281 km → N 73.226700°
E 70.664062°		 →
↑
11.315 km
↓
↑
11.315 km
↓
N 73.124945°
E 70.312500°		 ← 11.348 km →
128.020 km²		 N 73.124945°
E 70.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69580078125 y=0.19580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69580078125 × 210)
    floor (0.69580078125 × 1024)
    floor (712.5)     		tx = 712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19580078125 × 210)
    floor (0.19580078125 × 1024)
    floor (200.5)     		ty = 200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 712 / 200 ti = "10/712/200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/712/200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 712 ÷ 210
    712 ÷ 1024     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 200 ÷ 210
    200 ÷ 1024     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 712 KachelY 200 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 713 KachelY 200 1.23332055 1.27804701 70.664062 73.226700
    Unten links KachelX 712 KachelY + 1 201 1.22718463 1.27627106 70.312500 73.124945
    Unten rechts KachelX + 1 713 KachelY + 1 201 1.23332055 1.27627106 70.664062 73.124945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27627106) × R
    0.00177595000000008 × 6371000     		dl = 11314.5774500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27627106) × R
    0.00177595000000008 × 6371000     		dr = 11314.5774500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.23332055) × cos(1.27804701) × R
    0.00613591999999996 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 11281.3750140214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.23332055) × cos(1.27627106) × R
    0.00613591999999996 × 0.290285591630776 × 6371000     		du = 11347.8287654997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27627106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.290285591630776)×R²
    abs(1.23332055-1.22718463)×0.00169993458330986×R²
    0.00613591999999996×0.00169993458330986×6371000²
    0.00613591999999996×0.00169993458330986×40589641000000     		ar = 128019973.045509m²