Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 713 / 199
↖ ↑ ↗
← N 73.327858°
E 70.664062°		 ← 11.215 km → N 73.327858°
E 71.015625°		 →
↑
11.248 km
↓
↑
11.248 km
↓
N 73.226700°
E 70.664062°		 ← 11.281 km →
126.525 km²		 N 73.226700°
E 71.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69677734375 y=0.19482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69677734375 × 210)
    floor (0.69677734375 × 1024)
    floor (713.5)     		tx = 713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19482421875 × 210)
    floor (0.19482421875 × 1024)
    floor (199.5)     		ty = 199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 713 / 199 ti = "10/713/199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/713/199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 713 ÷ 210
    713 ÷ 1024     		x = 0.6962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 199 ÷ 210
    199 ÷ 1024     		y = 0.1943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6962890625 × 2 - 1) × π
    0.392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.23332055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1943359375 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92054394637793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.23332055} λ = 1.23332055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92054394637793))-π/2
    2×atan(6.82466971421174)-π/2
    2×1.42530444201577-π/2
    2.85060888403154-1.57079632675     		φ = 1.27981256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.23332055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27981256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.327858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 713 KachelY 199 1.23332055 1.27981256 70.664062 73.327858
    Oben rechts KachelX + 1 714 KachelY 199 1.23945648 1.27981256 71.015625 73.327858
    Unten links KachelX 713 KachelY + 1 200 1.23332055 1.27804701 70.664062 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 714 KachelY + 1 200 1.23945648 1.27804701 71.015625 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27981256-1.27804701) × R
    0.00176555 × 6371000     		dl = 11248.31905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27981256-1.27804701) × R
    0.00176555 × 6371000     		dr = 11248.31905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.23332055-1.23945648) × cos(1.27981256) × R
    0.00613593000000012 × 0.286894775087066 × 6371000     		do = 11215.2934252584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.23332055-1.23945648) × cos(1.27804701) × R
    0.00613593000000012 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 11281.3933998139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27981256)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286894775087066-0.288585657047466)×R²
    abs(1.23945648-1.23332055)×0.00169088196040051×R²
    0.00613593000000012×0.00169088196040051×6371000²
    0.00613593000000012×0.00169088196040051×40589641000000     		ar = 126524988.354801m²