Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7167 / 3071
↖ ↑ ↗
← N 41.013066°
E134.956055°		 ← 3 687.15 m → N 41.013066°
E135.000000°		 →
↑
3 688.04 m
↓
↑
3 688.04 m
↓
N 40.979898°
E134.956055°		 ← 3 689.01 m →
13 601 803 m²		 N 40.979898°
E135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87493896484375 y=0.37493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87493896484375 × 213)
    floor (0.87493896484375 × 8192)
    floor (7167.5)     		tx = 7167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37493896484375 × 213)
    floor (0.37493896484375 × 8192)
    floor (3071.5)     		ty = 3071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7167 / 3071 ti = "13/7167/3071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7167/3071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7167 ÷ 213
    7167 ÷ 8192     		x = 0.8748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3071 ÷ 213
    3071 ÷ 8192     		y = 0.3748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8748779296875 × 2 - 1) × π
    0.749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35542750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35542750} λ = 2.35542750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.786165153768921))-π/2
    2×atan(2.19496292070891)-π/2
    2×1.14330468054912-π/2
    2.28660936109824-1.57079632675     		φ = 0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35542750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7167 KachelY 3071 2.35542750 0.71581303 134.956055 41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 7168 KachelY 3071 2.35619449 0.71581303 135.000000 41.013066
    Unten links KachelX 7167 KachelY + 1 3072 2.35542750 0.71523415 134.956055 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 7168 KachelY + 1 3072 2.35619449 0.71523415 135.000000 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71581303-0.71523415) × R
    0.000578879999999948 × 6371000     		dl = 3688.04447999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71581303-0.71523415) × R
    0.000578879999999948 × 6371000     		dr = 3688.04447999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35542750-2.35619449) × cos(0.71581303) × R
    0.000766990000000245 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 3687.15215738747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35542750-2.35619449) × cos(0.71523415) × R
    0.000766990000000245 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 3689.00781600922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71581303)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754939707695381)×R²
    abs(2.35619449-2.35542750)×0.000379752618416496×R²
    0.000766990000000245×0.000379752618416496×6371000²
    0.000766990000000245×0.000379752618416496×40589641000000     		ar = 13601803.4165716m²