Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7168 / 3072
↖ ↑ ↗
← N 40.979898°
E135.000000°		 ← 3 689.01 m → N 40.979898°
E135.043945°		 →
↑
3 689.96 m
↓
↑
3 689.96 m
↓
N 40.946714°
E135.000000°		 ← 3 690.86 m →
13 615 699 m²		 N 40.946714°
E135.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87506103515625 y=0.37506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87506103515625 × 213)
    floor (0.87506103515625 × 8192)
    floor (7168.5)     		tx = 7168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37506103515625 × 213)
    floor (0.37506103515625 × 8192)
    floor (3072.5)     		ty = 3072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7168 / 3072 ti = "13/7168/3072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7168/3072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7168 ÷ 213
    7168 ÷ 8192     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3072 ÷ 213
    3072 ÷ 8192     		y = 0.375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Φ = 0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.785398163375))-π/2
    2×atan(2.19328005068878)-π/2
    2×1.14301523761224-π/2
    2.28603047522449-1.57079632675     		φ = 0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7168 KachelY 3072 2.35619449 0.71523415 135.000000 40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 7169 KachelY 3072 2.35696148 0.71523415 135.043945 40.979898
    Unten links KachelX 7168 KachelY + 1 3073 2.35619449 0.71465497 135.000000 40.946714
    Unten rechts KachelX + 1 7169 KachelY + 1 3073 2.35696148 0.71465497 135.043945 40.946714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71523415-0.71465497) × R
    0.000579180000000012 × 6371000     		dl = 3689.95578000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71523415-0.71465497) × R
    0.000579180000000012 × 6371000     		dr = 3689.95578000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.35696148) × cos(0.71523415) × R
    0.000766989999999801 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 3689.00781600708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.35696148) × cos(0.71465497) × R
    0.000766989999999801 × 0.755319403939046 × 6371000     		du = 3690.86319915399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71523415)-sin(0.71465497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.755319403939046)×R²
    abs(2.35696148-2.35619449)×0.000379696243665073×R²
    0.000766989999999801×0.000379696243665073×6371000²
    0.000766989999999801×0.000379696243665073×40589641000000     		ar = 13615699.2346396m²