Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71680 / 59392
↖ ↑ ↗
← N 16.636192°
E 16.875000°		 ← 292.64 m → N 16.636192°
E 16.877747°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
N 16.633560°
E 16.875000°		 ← 292.65 m →
85 633 m²		 N 16.633560°
E 16.877747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546878814697266 y=0.453128814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546878814697266 × 217)
    floor (0.546878814697266 × 131072)
    floor (71680.5)     		tx = 71680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453128814697266 × 217)
    floor (0.453128814697266 × 131072)
    floor (59392.5)     		ty = 59392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71680 / 59392 ti = "17/71680/59392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71680/59392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71680 ÷ 217
    71680 ÷ 131072     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59392 ÷ 217
    59392 ÷ 131072     		y = 0.453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.453125 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Φ = 0.294524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.294524311265625))-π/2
    2×atan(1.34248760054568)-π/2
    2×0.930576325029205-π/2
    1.86115265005841-1.57079632675     		φ = 0.29035632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29035632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.636192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71680 KachelY 59392 0.29452431 0.29035632 16.875000 16.636192
    Oben rechts KachelX + 1 71681 KachelY 59392 0.29457225 0.29035632 16.877747 16.636192
    Unten links KachelX 71680 KachelY + 1 59393 0.29452431 0.29031039 16.875000 16.633560
    Unten rechts KachelX + 1 71681 KachelY + 1 59393 0.29457225 0.29031039 16.877747 16.633560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29035632-0.29031039) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29035632-0.29031039) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29457225) × cos(0.29035632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.958141924186794 × 6371000     		do = 292.641206219584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29457225) × cos(0.29031039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95815507264343 × 6371000     		du = 292.645222096681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29035632)-sin(0.29031039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958141924186794-0.95815507264343)×R²
    abs(0.29457225-0.29452431)×1.3148456635248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3148456635248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3148456635248e-05×40589641000000     		ar = 85633.2661213701m²