Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7169 / 3073
↖ ↑ ↗
← N 40.946714°
E135.043945°		 ← 3 690.86 m → N 40.946714°
E135.087891°		 →
↑
3 691.80 m
↓
↑
3 691.80 m
↓
N 40.913512°
E135.043945°		 ← 3 692.72 m →
13 629 366 m²		 N 40.913512°
E135.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87518310546875 y=0.37518310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87518310546875 × 213)
    floor (0.87518310546875 × 8192)
    floor (7169.5)     		tx = 7169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37518310546875 × 213)
    floor (0.37518310546875 × 8192)
    floor (3073.5)     		ty = 3073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7169 / 3073 ti = "13/7169/3073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7169/3073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7169 ÷ 213
    7169 ÷ 8192     		x = 0.8751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3073 ÷ 213
    3073 ÷ 8192     		y = 0.3751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    0.750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35696148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.784631172981079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35696148} λ = 2.35696148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784631172981079))-π/2
    2×atan(2.19159847091892)-π/2
    2×1.14272564905248-π/2
    2.28545129810496-1.57079632675     		φ = 0.71465497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35696148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71465497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.946714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7169 KachelY 3073 2.35696148 0.71465497 135.043945 40.946714
    Oben rechts KachelX + 1 7170 KachelY 3073 2.35772847 0.71465497 135.087891 40.946714
    Unten links KachelX 7169 KachelY + 1 3074 2.35696148 0.71407550 135.043945 40.913512
    Unten rechts KachelX + 1 7170 KachelY + 1 3074 2.35772847 0.71407550 135.087891 40.913512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71465497-0.71407550) × R
    0.000579470000000026 × 6371000     		dl = 3691.80337000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71465497-0.71407550) × R
    0.000579470000000026 × 6371000     		dr = 3691.80337000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35696148-2.35772847) × cos(0.71465497) × R
    0.000766990000000245 × 0.755319403939046 × 6371000     		do = 3690.86319915613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35696148-2.35772847) × cos(0.71407550) × R
    0.000766990000000245 × 0.75569903673778 × 6371000     		du = 3692.7182722798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71465497)-sin(0.71407550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755319403939046-0.75569903673778)×R²
    abs(2.35772847-2.35696148)×0.000379632798733653×R²
    0.000766990000000245×0.000379632798733653×6371000²
    0.000766990000000245×0.000379632798733653×40589641000000     		ar = 13629365.8608372m²