Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7170 / 3075
↖ ↑ ↗
← N 40.880295°
E135.087891°		 ← 3 694.57 m → N 40.880295°
E135.131836°		 →
↑
3 695.50 m
↓
↑
3 695.50 m
↓
N 40.847060°
E135.087891°		 ← 3 696.43 m →
13 656 716 m²		 N 40.847060°
E135.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87530517578125 y=0.37542724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87530517578125 × 213)
    floor (0.87530517578125 × 8192)
    floor (7170.5)     		tx = 7170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37542724609375 × 213)
    floor (0.37542724609375 × 8192)
    floor (3075.5)     		ty = 3075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7170 / 3075 ti = "13/7170/3075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7170/3075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7170 ÷ 213
    7170 ÷ 8192     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3075 ÷ 213
    3075 ÷ 8192     		y = 0.3753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783097192193237))-π/2
    2×atan(2.18823917817387)-π/2
    2×1.14214603516019-π/2
    2.28429207032038-1.57079632675     		φ = 0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7170 KachelY 3075 2.35772847 0.71349574 135.087891 40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 7171 KachelY 3075 2.35849546 0.71349574 135.131836 40.880295
    Unten links KachelX 7170 KachelY + 1 3076 2.35772847 0.71291569 135.087891 40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 7171 KachelY + 1 3076 2.35849546 0.71291569 135.131836 40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71349574-0.71291569) × R
    0.000580050000000054 × 6371000     		dl = 3695.49855000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71349574-0.71291569) × R
    0.000580050000000054 × 6371000     		dr = 3695.49855000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35849546) × cos(0.71349574) × R
    0.000766989999999801 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 3694.57303289403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35849546) × cos(0.71291569) × R
    0.000766989999999801 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 3696.42747851661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71349574)-sin(0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.756458109966538)×R²
    abs(2.35849546-2.35772847)×0.000379504383312468×R²
    0.000766989999999801×0.000379504383312468×6371000²
    0.000766989999999801×0.000379504383312468×40589641000000     		ar = 13656716.2193958m²