Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7174 / 3078
↖ ↑ ↗
← N 40.780542°
E135.263672°		 ← 3 700.14 m → N 40.780542°
E135.307617°		 →
↑
3 701.04 m
↓
↑
3 701.04 m
↓
N 40.747257°
E135.263672°		 ← 3 701.99 m →
13 697 784 m²		 N 40.747257°
E135.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87579345703125 y=0.37579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87579345703125 × 213)
    floor (0.87579345703125 × 8192)
    floor (7174.5)     		tx = 7174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37579345703125 × 213)
    floor (0.37579345703125 × 8192)
    floor (3078.5)     		ty = 3078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7174 / 3078 ti = "13/7174/3078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7174/3078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7174 ÷ 213
    7174 ÷ 8192     		x = 0.875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3078 ÷ 213
    3078 ÷ 8192     		y = 0.375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    0.75146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36079643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36079643} λ = 2.36079643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.780796221011475))-π/2
    2×atan(2.1832098912272)-π/2
    2×1.14127552275496-π/2
    2.28255104550992-1.57079632675     		φ = 0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36079643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7174 KachelY 3078 2.36079643 0.71175472 135.263672 40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 7175 KachelY 3078 2.36156342 0.71175472 135.307617 40.780542
    Unten links KachelX 7174 KachelY + 1 3079 2.36079643 0.71117380 135.263672 40.747257
    Unten rechts KachelX + 1 7175 KachelY + 1 3079 2.36156342 0.71117380 135.307617 40.747257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71175472-0.71117380) × R
    0.000580919999999985 × 6371000     		dl = 3701.0413199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71175472-0.71117380) × R
    0.000580919999999985 × 6371000     		dr = 3701.0413199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36079643-2.36156342) × cos(0.71175472) × R
    0.000766989999999801 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 3700.13541482263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36079643-2.36156342) × cos(0.71117380) × R
    0.000766989999999801 × 0.757596231247903 × 6371000     		du = 3701.98890052121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71175472)-sin(0.71117380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757596231247903)×R²
    abs(2.36156342-2.36079643)×0.000379307938960904×R²
    0.000766989999999801×0.000379307938960904×6371000²
    0.000766989999999801×0.000379307938960904×40589641000000     		ar = 13697784.3586447m²