Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7180 / 1036
↖ ↑ ↗
← N 79.071812°
E135.527343°		 ← 926.39 m → N 79.071812°
E135.571289°		 →
↑
926.73 m
↓
↑
926.73 m
↓
N 79.063478°
E135.527343°		 ← 927.08 m →
858 829 m²		 N 79.063478°
E135.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87652587890625 y=0.12652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87652587890625 × 213)
    floor (0.87652587890625 × 8192)
    floor (7180.5)     		tx = 7180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12652587890625 × 213)
    floor (0.12652587890625 × 8192)
    floor (1036.5)     		ty = 1036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7180 / 1036 ti = "13/7180/1036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7180/1036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7180 ÷ 213
    7180 ÷ 8192     		x = 0.87646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1036 ÷ 213
    1036 ÷ 8192     		y = 0.12646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87646484375 × 2 - 1) × π
    0.7529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.36539837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    0.7470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36539837} λ = 2.36539837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34699060539795))-π/2
    2×atan(10.4540619412544)-π/2
    2×1.47542989597299-π/2
    2.95085979194598-1.57079632675     		φ = 1.38006347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36539837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38006347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.071812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7180 KachelY 1036 2.36539837 1.38006347 135.527343 79.071812
    Oben rechts KachelX + 1 7181 KachelY 1036 2.36616537 1.38006347 135.571289 79.071812
    Unten links KachelX 7180 KachelY + 1 1037 2.36539837 1.37991801 135.527343 79.063478
    Unten rechts KachelX + 1 7181 KachelY + 1 1037 2.36616537 1.37991801 135.571289 79.063478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38006347-1.37991801) × R
    0.000145460000000153 × 6371000     		dl = 926.725660000973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38006347-1.37991801) × R
    0.000145460000000153 × 6371000     		dr = 926.725660000973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36539837-2.36616537) × cos(1.38006347) × R
    0.000767000000000184 × 0.189578512672325 × 6371000     		do = 926.386208148761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36539837-2.36616537) × cos(1.37991801) × R
    0.000767000000000184 × 0.189721332831283 × 6371000     		du = 927.084106996256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38006347)-sin(1.37991801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189578512672325-0.189721332831283)×R²
    abs(2.36616537-2.36539837)×0.000142820158957557×R²
    0.000767000000000184×0.000142820158957557×6371000²
    0.000767000000000184×0.000142820158957557×40589641000000     		ar = 858829.252063512m²