Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7183 / 3087
↖ ↑ ↗
← N 40.480382°
E135.659180°		 ← 3 716.81 m → N 40.480382°
E135.703125°		 →
↑
3 717.73 m
↓
↑
3 717.73 m
↓
N 40.446947°
E135.659180°		 ← 3 718.66 m →
13 821 530 m²		 N 40.446947°
E135.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87689208984375 y=0.37689208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87689208984375 × 213)
    floor (0.87689208984375 × 8192)
    floor (7183.5)     		tx = 7183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37689208984375 × 213)
    floor (0.37689208984375 × 8192)
    floor (3087.5)     		ty = 3087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7183 / 3087 ti = "13/7183/3087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7183/3087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7183 ÷ 213
    7183 ÷ 8192     		x = 0.8768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3087 ÷ 213
    3087 ÷ 8192     		y = 0.3768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36769935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3768310546875 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.773893307466187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36769935} λ = 2.36769935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773893307466187))-π/2
    2×atan(2.1681912778284)-π/2
    2×1.13865613258936-π/2
    2.27731226517872-1.57079632675     		φ = 0.70651594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36769935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70651594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.480382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7183 KachelY 3087 2.36769935 0.70651594 135.659180 40.480382
    Oben rechts KachelX + 1 7184 KachelY 3087 2.36846634 0.70651594 135.703125 40.480382
    Unten links KachelX 7183 KachelY + 1 3088 2.36769935 0.70593240 135.659180 40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 7184 KachelY + 1 3088 2.36846634 0.70593240 135.703125 40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70651594-0.70593240) × R
    0.000583539999999938 × 6371000     		dl = 3717.73333999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70651594-0.70593240) × R
    0.000583539999999938 × 6371000     		dr = 3717.73333999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36769935-2.36846634) × cos(0.70651594) × R
    0.000766989999999801 × 0.760628296615062 × 6371000     		do = 3716.80506759267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36769935-2.36846634) × cos(0.70593240) × R
    0.000766989999999801 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 3718.65557004764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70651594)-sin(0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760628296615062-0.76100699404595)×R²
    abs(2.36846634-2.36769935)×0.000378697430887587×R²
    0.000766989999999801×0.000378697430887587×6371000²
    0.000766989999999801×0.000378697430887587×40589641000000     		ar = 13821530.3476145m²