Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7184 / 1008
↖ ↑ ↗
← N 79.302640°
E135.703125°		 ← 907.04 m → N 79.302640°
E135.747070°		 →
↑
907.42 m
↓
↑
907.42 m
↓
N 79.294479°
E135.703125°		 ← 907.72 m →
823 376 m²		 N 79.294479°
E135.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87701416015625 y=0.12310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87701416015625 × 213)
    floor (0.87701416015625 × 8192)
    floor (7184.5)     		tx = 7184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12310791015625 × 213)
    floor (0.12310791015625 × 8192)
    floor (1008.5)     		ty = 1008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7184 / 1008 ti = "13/7184/1008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7184/1008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7184 ÷ 213
    7184 ÷ 8192     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1008 ÷ 213
    1008 ÷ 8192     		y = 0.123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123046875 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36846633642773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36846633642773))-π/2
    2×atan(10.6809986576139)-π/2
    2×1.4774442468416-π/2
    2.9548884936832-1.57079632675     		φ = 1.38409217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38409217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.302640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7184 KachelY 1008 2.36846634 1.38409217 135.703125 79.302640
    Oben rechts KachelX + 1 7185 KachelY 1008 2.36923333 1.38409217 135.747070 79.302640
    Unten links KachelX 7184 KachelY + 1 1009 2.36846634 1.38394974 135.703125 79.294479
    Unten rechts KachelX + 1 7185 KachelY + 1 1009 2.36923333 1.38394974 135.747070 79.294479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38409217-1.38394974) × R
    0.000142429999999916 × 6371000     		dl = 907.421529999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38409217-1.38394974) × R
    0.000142429999999916 × 6371000     		dr = 907.421529999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.36923333) × cos(1.38409217) × R
    0.000766990000000245 × 0.18562134310359 × 6371000     		do = 907.037447556772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.36923333) × cos(1.38394974) × R
    0.000766990000000245 × 0.185761295979177 × 6371000     		du = 907.72132634424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38409217)-sin(1.38394974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18562134310359-0.185761295979177)×R²
    abs(2.36923333-2.36846634)×0.000139952875586047×R²
    0.000766990000000245×0.000139952875586047×6371000²
    0.000766990000000245×0.000139952875586047×40589641000000     		ar = 823375.592988897m²