Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 720 / 720
↖ ↑ ↗
← S 58.813742°
E 73.125000°		 ← 20.243 km → S 58.813742°
E 73.476563°		 →
↑
20.190 km
↓
↑
20.190 km
↓
S 58.995311°
E 73.125000°		 ← 20.137 km →
407.620 km²		 S 58.995311°
E 73.476563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.70361328125 y=0.70361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.70361328125 × 210)
    floor (0.70361328125 × 1024)
    floor (720.5)     		tx = 720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70361328125 × 210)
    floor (0.70361328125 × 1024)
    floor (720.5)     		ty = 720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 720 / 720 ti = "10/720/720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/720/720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 720 ÷ 210
    720 ÷ 1024     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 720 ÷ 210
    720 ÷ 1024     		y = 0.703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.703125 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Φ = -1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.27627201548437))-π/2
    2×atan(0.279075753670116)-π/2
    2×0.272151444228573-π/2
    0.544302888457146-1.57079632675     		φ = -1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 720 KachelY 720 1.27627202 -1.02649344 73.125000 -58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 721 KachelY 720 1.28240794 -1.02649344 73.476563 -58.813742
    Unten links KachelX 720 KachelY + 1 721 1.27627202 -1.02966242 73.125000 -58.995311
    Unten rechts KachelX + 1 721 KachelY + 1 721 1.28240794 -1.02966242 73.476563 -58.995311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02649344--1.02966242) × R
    0.00316897999999988 × 6371000     		dl = 20189.5715799992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02649344--1.02966242) × R
    0.00316897999999988 × 6371000     		dr = 20189.5715799992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.28240794) × cos(-1.02649344) × R
    0.00613591999999996 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 20242.6637312918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.28240794) × cos(-1.02966242) × R
    0.00613591999999996 × 0.515108222622785 × 6371000     		du = 20136.5829877604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02649344)-sin(-1.02966242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.515108222622785)×R²
    abs(1.28240794-1.27627202)×0.00271362143657616×R²
    0.00613591999999996×0.00271362143657616×6371000²
    0.00613591999999996×0.00271362143657616×40589641000000     		ar = 407620187.11534m²