Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7200 / 3103
↖ ↑ ↗
← N 39.943436°
E136.406250°		 ← 3 746.37 m → N 39.943436°
E136.450195°		 →
↑
3 747.29 m
↓
↑
3 747.29 m
↓
N 39.909736°
E136.406250°		 ← 3 748.21 m →
14 042 210 m²		 N 39.909736°
E136.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87896728515625 y=0.37884521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87896728515625 × 213)
    floor (0.87896728515625 × 8192)
    floor (7200.5)     		tx = 7200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37884521484375 × 213)
    floor (0.37884521484375 × 8192)
    floor (3103.5)     		ty = 3103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7200 / 3103 ti = "13/7200/3103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7200/3103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7200 ÷ 213
    7200 ÷ 8192     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3103 ÷ 213
    3103 ÷ 8192     		y = 0.3787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761621461163452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761621461163452))-π/2
    2×atan(2.14174616477478)-π/2
    2×1.13397040380041-π/2
    2.26794080760081-1.57079632675     		φ = 0.69714448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69714448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.943436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7200 KachelY 3103 2.38073818 0.69714448 136.406250 39.943436
    Oben rechts KachelX + 1 7201 KachelY 3103 2.38150517 0.69714448 136.450195 39.943436
    Unten links KachelX 7200 KachelY + 1 3104 2.38073818 0.69655630 136.406250 39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 7201 KachelY + 1 3104 2.38150517 0.69655630 136.450195 39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69714448-0.69655630) × R
    0.000588179999999938 × 6371000     		dl = 3747.29477999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69714448-0.69655630) × R
    0.000588179999999938 × 6371000     		dr = 3747.29477999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.38150517) × cos(0.69714448) × R
    0.000766990000000245 × 0.766678643017404 × 6371000     		do = 3746.37004469204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.38150517) × cos(0.69655630) × R
    0.000766990000000245 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 3748.21468211852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69714448)-sin(0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766678643017404-0.767056140195237)×R²
    abs(2.38150517-2.38073818)×0.000377497177833197×R²
    0.000766990000000245×0.000377497177833197×6371000²
    0.000766990000000245×0.000377497177833197×40589641000000     		ar = 14042209.517353m²