Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7200 / 3104
↖ ↑ ↗
← N 39.909736°
E136.406250°		 ← 3 748.21 m → N 39.909736°
E136.450195°		 →
↑
3 749.14 m
↓
↑
3 749.14 m
↓
N 39.876019°
E136.406250°		 ← 3 750.06 m →
14 056 048 m²		 N 39.876019°
E136.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87896728515625 y=0.37896728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87896728515625 × 213)
    floor (0.87896728515625 × 8192)
    floor (7200.5)     		tx = 7200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37896728515625 × 213)
    floor (0.37896728515625 × 8192)
    floor (3104.5)     		ty = 3104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7200 / 3104 ti = "13/7200/3104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7200/3104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7200 ÷ 213
    7200 ÷ 8192     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3104 ÷ 213
    3104 ÷ 8192     		y = 0.37890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37890625 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760854470769531))-π/2
    2×atan(2.14010409584623)-π/2
    2×1.13367631383669-π/2
    2.26735262767337-1.57079632675     		φ = 0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7200 KachelY 3104 2.38073818 0.69655630 136.406250 39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 7201 KachelY 3104 2.38150517 0.69655630 136.450195 39.909736
    Unten links KachelX 7200 KachelY + 1 3105 2.38073818 0.69596783 136.406250 39.876019
    Unten rechts KachelX + 1 7201 KachelY + 1 3105 2.38150517 0.69596783 136.450195 39.876019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69655630-0.69596783) × R
    0.000588470000000063 × 6371000     		dl = 3749.1423700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69655630-0.69596783) × R
    0.000588470000000063 × 6371000     		dr = 3749.1423700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.38150517) × cos(0.69655630) × R
    0.000766990000000245 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 3748.21468211852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.38150517) × cos(0.69596783) × R
    0.000766990000000245 × 0.767433557932917 × 6371000     		du = 3750.05893136122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69655630)-sin(0.69596783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.767433557932917)×R²
    abs(2.38150517-2.38073818)×0.000377417737680408×R²
    0.000766990000000245×0.000377417737680408×6371000²
    0.000766990000000245×0.000377417737680408×40589641000000     		ar = 14056048.0587086m²