Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7200 / 3104
↖ ↑ ↗
← N 73.824820°
W 21.796875°		 ← 680.64 m → N 73.824820°
W 21.774902°		 →
↑
680.74 m
↓
↑
680.74 m
↓
N 73.818698°
W 21.796875°		 ← 680.89 m →
463 423 m²		 N 73.818698°
W 21.774902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439483642578125 y=0.189483642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439483642578125 × 214)
    floor (0.439483642578125 × 16384)
    floor (7200.5)     		tx = 7200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189483642578125 × 214)
    floor (0.189483642578125 × 16384)
    floor (3104.5)     		ty = 3104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7200 / 3104 ti = "14/7200/3104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7200/3104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7200 ÷ 214
    7200 ÷ 16384     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3104 ÷ 214
    3104 ÷ 16384     		y = 0.189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189453125 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95122356213477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95122356213477))-π/2
    2×atan(7.03729288005571)-π/2
    2×1.4296412557564-π/2
    2.85928251151279-1.57079632675     		φ = 1.28848618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28848618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.824820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7200 KachelY 3104 -0.38042724 1.28848618 -21.796875 73.824820
    Oben rechts KachelX + 1 7201 KachelY 3104 -0.38004374 1.28848618 -21.774902 73.824820
    Unten links KachelX 7200 KachelY + 1 3105 -0.38042724 1.28837933 -21.796875 73.818698
    Unten rechts KachelX + 1 7201 KachelY + 1 3105 -0.38004374 1.28837933 -21.774902 73.818698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28848618-1.28837933) × R
    0.000106850000000103 × 6371000     		dl = 680.741350000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28848618-1.28837933) × R
    0.000106850000000103 × 6371000     		dr = 680.741350000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.38004374) × cos(1.28848618) × R
    0.000383499999999981 × 0.278575088305804 × 6371000     		do = 680.636523893139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.38004374) × cos(1.28837933) × R
    0.000383499999999981 × 0.278677706999602 × 6371000     		du = 680.887249941392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28848618)-sin(1.28837933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278575088305804-0.278677706999602)×R²
    abs(-0.38004374--0.38042724)×0.000102618693797352×R²
    0.000383499999999981×0.000102618693797352×6371000²
    0.000383499999999981×0.000102618693797352×40589641000000     		ar = 463422.766369837m²