Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7201 / 3105
↖ ↑ ↗
← N 39.876019°
E136.450195°		 ← 3 750.06 m → N 39.876019°
E136.494140°		 →
↑
3 750.99 m
↓
↑
3 750.99 m
↓
N 39.842286°
E136.450195°		 ← 3 751.90 m →
14 069 892 m²		 N 39.842286°
E136.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87908935546875 y=0.37908935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87908935546875 × 213)
    floor (0.87908935546875 × 8192)
    floor (7201.5)     		tx = 7201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37908935546875 × 213)
    floor (0.37908935546875 × 8192)
    floor (3105.5)     		ty = 3105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7201 / 3105 ti = "13/7201/3105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7201/3105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7201 ÷ 213
    7201 ÷ 8192     		x = 0.8790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3105 ÷ 213
    3105 ÷ 8192     		y = 0.3790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8790283203125 × 2 - 1) × π
    0.758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.38150517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    0.241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.76008748037561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38150517} λ = 2.38150517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.76008748037561))-π/2
    2×atan(2.1384632858859)-π/2
    2×1.13338207911991-π/2
    2.26676415823981-1.57079632675     		φ = 0.69596783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38150517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69596783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.876019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7201 KachelY 3105 2.38150517 0.69596783 136.450195 39.876019
    Oben rechts KachelX + 1 7202 KachelY 3105 2.38227216 0.69596783 136.494140 39.876019
    Unten links KachelX 7201 KachelY + 1 3106 2.38150517 0.69537907 136.450195 39.842286
    Unten rechts KachelX + 1 7202 KachelY + 1 3106 2.38227216 0.69537907 136.494140 39.842286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69596783-0.69537907) × R
    0.000588759999999966 × 6371000     		dl = 3750.98995999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69596783-0.69537907) × R
    0.000588759999999966 × 6371000     		dr = 3750.98995999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38150517-2.38227216) × cos(0.69596783) × R
    0.000766989999999801 × 0.767433557932917 × 6371000     		do = 3750.05893135905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38150517-2.38227216) × cos(0.69537907) × R
    0.000766989999999801 × 0.76781089570694 × 6371000     		du = 3751.90278985988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69596783)-sin(0.69537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767433557932917-0.76781089570694)×R²
    abs(2.38227216-2.38150517)×0.000377337774023268×R²
    0.000766989999999801×0.000377337774023268×6371000²
    0.000766989999999801×0.000377337774023268×40589641000000     		ar = 14069891.9547262m²