Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7232 / 1088
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
E137.812500°		 ← 963.34 m → N 78.630006°
E137.856446°		 →
↑
963.74 m
↓
↑
963.74 m
↓
N 78.621339°
E137.812500°		 ← 964.07 m →
928 762 m²		 N 78.621339°
E137.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88287353515625 y=0.13287353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88287353515625 × 213)
    floor (0.88287353515625 × 8192)
    floor (7232.5)     		tx = 7232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13287353515625 × 213)
    floor (0.13287353515625 × 8192)
    floor (1088.5)     		ty = 1088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7232 / 1088 ti = "13/7232/1088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7232/1088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7232 ÷ 213
    7232 ÷ 8192     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1088 ÷ 213
    1088 ÷ 8192     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7232 KachelY 1088 2.40528188 1.37235249 137.812500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 7233 KachelY 1088 2.40604887 1.37235249 137.856446 78.630006
    Unten links KachelX 7232 KachelY + 1 1089 2.40528188 1.37220122 137.812500 78.621339
    Unten rechts KachelX + 1 7233 KachelY + 1 1089 2.40604887 1.37220122 137.856446 78.621339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37220122) × R
    0.000151269999999926 × 6371000     		dl = 963.741169999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37220122) × R
    0.000151269999999926 × 6371000     		dr = 963.741169999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40604887) × cos(1.37235249) × R
    0.000766989999999801 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 963.342575696583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40604887) × cos(1.37220122) × R
    0.000766989999999801 × 0.197292246312964 × 6371000     		du = 964.067237777077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37220122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197292246312964)×R²
    abs(2.40604887-2.40528188)×0.000148299002472208×R²
    0.000766989999999801×0.000148299002472208×6371000²
    0.000766989999999801×0.000148299002472208×40589641000000     		ar = 928762.096123702m²