Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7232 / 15424
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
W 21.093750°		 ← 303.97 m → S 82.853382°
W 21.071777°		 →
↑
303.90 m
↓
↑
303.90 m
↓
S 82.856115°
W 21.093750°		 ← 303.85 m →
92 357 m²		 S 82.856115°
W 21.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441436767578125 y=0.941436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441436767578125 × 214)
    floor (0.441436767578125 × 16384)
    floor (7232.5)     		tx = 7232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.941436767578125 × 214)
    floor (0.941436767578125 × 16384)
    floor (15424.5)     		ty = 15424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7232 / 15424 ti = "14/7232/15424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7232/15424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7232 ÷ 214
    7232 ÷ 16384     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15424 ÷ 214
    15424 ÷ 16384     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7232 KachelY 15424 -0.36815539 -1.44606432 -21.093750 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 7233 KachelY 15424 -0.36777189 -1.44606432 -21.071777 -82.853382
    Unten links KachelX 7232 KachelY + 1 15425 -0.36815539 -1.44611202 -21.093750 -82.856115
    Unten rechts KachelX + 1 7233 KachelY + 1 15425 -0.36777189 -1.44611202 -21.071777 -82.856115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44611202) × R
    4.76999999998728e-05 × 6371000     		dl = 303.89669999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44611202) × R
    4.76999999998728e-05 × 6371000     		dr = 303.89669999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36777189) × cos(-1.44606432) × R
    0.000383500000000037 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 303.965411433545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36777189) × cos(-1.44611202) × R
    0.000383500000000037 × 0.124361497116088 × 6371000     		du = 303.849772131578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44611202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.124361497116088)×R²
    abs(-0.36777189--0.36815539)×4.73295622937936e-05×R²
    0.000383500000000037×4.73295622937936e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.73295622937936e-05×40589641000000     		ar = 92356.5142636796m²