Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7232 / 3136
↖ ↑ ↗
← N 38.822591°
E137.812500°		 ← 3 807.02 m → N 38.822591°
E137.856446°		 →
↑
3 807.95 m
↓
↑
3 807.95 m
↓
N 38.788345°
E137.812500°		 ← 3 808.85 m →
14 500 423 m²		 N 38.788345°
E137.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88287353515625 y=0.38287353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88287353515625 × 213)
    floor (0.88287353515625 × 8192)
    floor (7232.5)     		tx = 7232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38287353515625 × 213)
    floor (0.38287353515625 × 8192)
    floor (3136.5)     		ty = 3136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7232 / 3136 ti = "13/7232/3136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7232/3136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7232 ÷ 213
    7232 ÷ 8192     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3136 ÷ 213
    3136 ÷ 8192     		y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675     		φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7232 KachelY 3136 2.40528188 0.67758204 137.812500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 7233 KachelY 3136 2.40604887 0.67758204 137.856446 38.822591
    Unten links KachelX 7232 KachelY + 1 3137 2.40528188 0.67698434 137.812500 38.788345
    Unten rechts KachelX + 1 7233 KachelY + 1 3137 2.40604887 0.67698434 137.856446 38.788345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67758204-0.67698434) × R
    0.000597700000000034 × 6371000     		dl = 3807.94670000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67758204-0.67698434) × R
    0.000597700000000034 × 6371000     		dr = 3807.94670000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40604887) × cos(0.67758204) × R
    0.000766989999999801 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 3807.02216488918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40604887) × cos(0.67698434) × R
    0.000766989999999801 × 0.779465406147364 × 6371000     		du = 3808.85247692523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.67698434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.779465406147364)×R²
    abs(2.40604887-2.40528188)×0.0003745655478119×R²
    0.000766989999999801×0.0003745655478119×6371000²
    0.000766989999999801×0.0003745655478119×40589641000000     		ar = 14500422.7866426m²