Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7233 / 1089
↖ ↑ ↗
← N 78.621339°
E137.856446°		 ← 964.07 m → N 78.621339°
E137.900391°		 →
↑
964.38 m
↓
↑
964.38 m
↓
N 78.612666°
E137.856446°		 ← 964.79 m →
930 075 m²		 N 78.612666°
E137.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88299560546875 y=0.13299560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88299560546875 × 213)
    floor (0.88299560546875 × 8192)
    floor (7233.5)     		tx = 7233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13299560546875 × 213)
    floor (0.13299560546875 × 8192)
    floor (1089.5)     		ty = 1089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7233 / 1089 ti = "13/7233/1089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7233/1089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7233 ÷ 213
    7233 ÷ 8192     		x = 0.8829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1089 ÷ 213
    1089 ÷ 8192     		y = 0.1329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8829345703125 × 2 - 1) × π
    0.765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40604887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1329345703125 × 2 - 1) × π
    0.734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30634011452014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40604887} λ = 2.40604887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30634011452014))-π/2
    2×atan(10.0376208045213)-π/2
    2×1.47149877521113-π/2
    2.94299755042227-1.57079632675     		φ = 1.37220122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40604887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37220122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.621339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7233 KachelY 1089 2.40604887 1.37220122 137.856446 78.621339
    Oben rechts KachelX + 1 7234 KachelY 1089 2.40681586 1.37220122 137.900391 78.621339
    Unten links KachelX 7233 KachelY + 1 1090 2.40604887 1.37204985 137.856446 78.612666
    Unten rechts KachelX + 1 7234 KachelY + 1 1090 2.40681586 1.37204985 137.900391 78.612666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37220122-1.37204985) × R
    0.000151369999999984 × 6371000     		dl = 964.378269999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37220122-1.37204985) × R
    0.000151369999999984 × 6371000     		dr = 964.378269999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40604887-2.40681586) × cos(1.37220122) × R
    0.000766990000000245 × 0.197292246312964 × 6371000     		do = 964.067237777635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40604887-2.40681586) × cos(1.37204985) × R
    0.000766990000000245 × 0.19744063883236 × 6371000     		du = 964.792356827949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37220122)-sin(1.37204985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197292246312964-0.19744063883236)×R²
    abs(2.40681586-2.40604887)×0.000148392519395607×R²
    0.000766990000000245×0.000148392519395607×6371000²
    0.000766990000000245×0.000148392519395607×40589641000000     		ar = 930075.141233441m²