Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7240 / 1096
↖ ↑ ↗
← N 78.560488°
E138.164063°		 ← 969.15 m → N 78.560488°
E138.208008°		 →
↑
969.48 m
↓
↑
969.48 m
↓
N 78.551769°
E138.164063°		 ← 969.88 m →
939 924 m²		 N 78.551769°
E138.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88385009765625 y=0.13385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88385009765625 × 213)
    floor (0.88385009765625 × 8192)
    floor (7240.5)     		tx = 7240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13385009765625 × 213)
    floor (0.13385009765625 × 8192)
    floor (1096.5)     		ty = 1096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7240 / 1096 ti = "13/7240/1096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7240/1096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7240 ÷ 213
    7240 ÷ 8192     		x = 0.8837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1096 ÷ 213
    1096 ÷ 8192     		y = 0.1337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    0.767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.41141780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    0.732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.41141780} λ = 2.41141780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3009711817627))-π/2
    2×atan(9.98387390423035)-π/2
    2×1.47096775465594-π/2
    2.94193550931187-1.57079632675     		φ = 1.37113918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.41141780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 138.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37113918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.560488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7240 KachelY 1096 2.41141780 1.37113918 138.164063 78.560488
    Oben rechts KachelX + 1 7241 KachelY 1096 2.41218479 1.37113918 138.208008 78.560488
    Unten links KachelX 7240 KachelY + 1 1097 2.41141780 1.37098701 138.164063 78.551769
    Unten rechts KachelX + 1 7241 KachelY + 1 1097 2.41218479 1.37098701 138.208008 78.551769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37113918-1.37098701) × R
    0.000152170000000007 × 6371000     		dl = 969.475070000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37113918-1.37098701) × R
    0.000152170000000007 × 6371000     		dr = 969.475070000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.41141780-2.41218479) × cos(1.37113918) × R
    0.000766989999999801 × 0.198333300157594 × 6371000     		do = 969.154340403387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.41141780-2.41218479) × cos(1.37098701) × R
    0.000766989999999801 × 0.1984824449481 × 6371000     		du = 969.883135421431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37113918)-sin(1.37098701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198333300157594-0.1984824449481)×R²
    abs(2.41218479-2.41141780)×0.000149144790505651×R²
    0.000766989999999801×0.000149144790505651×6371000²
    0.000766989999999801×0.000149144790505651×40589641000000     		ar = 939924.248116436m²