Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7264 / 3040
↖ ↑ ↗
← N 42.032975°
E139.218750°		 ← 3 629.49 m → N 42.032975°
E139.262695°		 →
↑
3 630.45 m
↓
↑
3 630.45 m
↓
N 42.000325°
E139.218750°		 ← 3 631.35 m →
13 180 067 m²		 N 42.000325°
E139.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.88677978515625 y=0.37115478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.88677978515625 × 213)
    floor (0.88677978515625 × 8192)
    floor (7264.5)     		tx = 7264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37115478515625 × 213)
    floor (0.37115478515625 × 8192)
    floor (3040.5)     		ty = 3040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7264 / 3040 ti = "13/7264/3040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7264/3040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7264 ÷ 213
    7264 ÷ 8192     		x = 0.88671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3040 ÷ 213
    3040 ÷ 8192     		y = 0.37109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88671875 × 2 - 1) × π
    0.7734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.42982557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37109375 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.42982557} λ = 2.42982557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.809941855980469))-π/2
    2×atan(2.2477772880703)-π/2
    2×1.15220506164254-π/2
    2.30441012328507-1.57079632675     		φ = 0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.42982557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 139.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7264 KachelY 3040 2.42982557 0.73361380 139.218750 42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 7265 KachelY 3040 2.43059256 0.73361380 139.262695 42.032975
    Unten links KachelX 7264 KachelY + 1 3041 2.42982557 0.73304396 139.218750 42.000325
    Unten rechts KachelX + 1 7265 KachelY + 1 3041 2.43059256 0.73304396 139.262695 42.000325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73361380-0.73304396) × R
    0.000569839999999933 × 6371000     		dl = 3630.45063999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73361380-0.73304396) × R
    0.000569839999999933 × 6371000     		dr = 3630.45063999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.42982557-2.43059256) × cos(0.73361380) × R
    0.000766989999999801 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 3629.48984197788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.42982557-2.43059256) × cos(0.73304396) × R
    0.000766989999999801 × 0.743141028709716 × 6371000     		du = 3631.35365031278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73361380)-sin(0.73304396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.743141028709716)×R²
    abs(2.43059256-2.42982557)×0.000381420422435719×R²
    0.000766989999999801×0.000381420422435719×6371000²
    0.000766989999999801×0.000381420422435719×40589641000000     		ar = 13180067.3084113m²