Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7296 / 15488
↖ ↑ ↗
← S 83.026219°
W 19.687500°		 ← 296.65 m → S 83.026219°
W 19.665527°		 →
↑
296.63 m
↓
↑
296.63 m
↓
S 83.028886°
W 19.687500°		 ← 296.54 m →
87 980 m²		 S 83.028886°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445343017578125 y=0.945343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445343017578125 × 214)
    floor (0.445343017578125 × 16384)
    floor (7296.5)     		tx = 7296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945343017578125 × 214)
    floor (0.945343017578125 × 16384)
    floor (15488.5)     		ty = 15488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7296 / 15488 ti = "14/7296/15488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7296/15488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7296 ÷ 214
    7296 ÷ 16384     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15488 ÷ 214
    15488 ÷ 16384     		y = 0.9453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9453125 × 2 - 1) × π
    -0.890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79798095702344))-π/2
    2×atan(0.0609329647856864)-π/2
    2×0.0608577211652698-π/2
    0.12171544233054-1.57079632675     		φ = -1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7296 KachelY 15488 -0.34361170 -1.44908088 -19.687500 -83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 7297 KachelY 15488 -0.34322820 -1.44908088 -19.665527 -83.026219
    Unten links KachelX 7296 KachelY + 1 15489 -0.34361170 -1.44912744 -19.687500 -83.028886
    Unten rechts KachelX + 1 7297 KachelY + 1 15489 -0.34322820 -1.44912744 -19.665527 -83.028886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44908088--1.44912744) × R
    4.65600000001398e-05 × 6371000     		dl = 296.633760000891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44908088--1.44912744) × R
    4.65600000001398e-05 × 6371000     		dr = 296.633760000891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34322820) × cos(-1.44908088) × R
    0.000383500000000037 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 296.651002856505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34322820) × cos(-1.44912744) × R
    0.000383500000000037 × 0.121368925031862 × 6371000     		du = 296.538085098489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44908088)-sin(-1.44912744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.121368925031862)×R²
    abs(-0.34322820--0.34361170)×4.62156721046936e-05×R²
    0.000383500000000037×4.62156721046936e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.62156721046936e-05×40589641000000     		ar = 87979.9547915686m²