Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7296 / 2944
↖ ↑ ↗
← N 45.089036°
E140.625000°		 ← 3 449.90 m → N 45.089036°
E140.668945°		 →
↑
3 450.85 m
↓
↑
3 450.85 m
↓
N 45.058001°
E140.625000°		 ← 3 451.77 m →
11 908 325 m²		 N 45.058001°
E140.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.89068603515625 y=0.35943603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.89068603515625 × 213)
    floor (0.89068603515625 × 8192)
    floor (7296.5)     		tx = 7296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35943603515625 × 213)
    floor (0.35943603515625 × 8192)
    floor (2944.5)     		ty = 2944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7296 / 2944 ti = "13/7296/2944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7296/2944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7296 ÷ 213
    7296 ÷ 8192     		x = 0.890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2944 ÷ 213
    2944 ÷ 8192     		y = 0.359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.890625 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Λ = 2.45436926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359375 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45436926} λ = 2.45436926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883572933796875))-π/2
    2×atan(2.41952909840215)-π/2
    2×1.17887422696609-π/2
    2.35774845393219-1.57079632675     		φ = 0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45436926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7296 KachelY 2944 2.45436926 0.78695213 140.625000 45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 7297 KachelY 2944 2.45513625 0.78695213 140.668945 45.089036
    Unten links KachelX 7296 KachelY + 1 2945 2.45436926 0.78641048 140.625000 45.058001
    Unten rechts KachelX + 1 7297 KachelY + 1 2945 2.45513625 0.78641048 140.668945 45.058001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78695213-0.78641048) × R
    0.000541649999999949 × 6371000     		dl = 3450.85214999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78695213-0.78641048) × R
    0.000541649999999949 × 6371000     		dr = 3450.85214999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45436926-2.45513625) × cos(0.78695213) × R
    0.000766989999999801 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 3449.89899369303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45436926-2.45513625) × cos(0.78641048) × R
    0.000766989999999801 × 0.706390603058289 × 6371000     		du = 3451.77294196248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78695213)-sin(0.78641048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.706390603058289)×R²
    abs(2.45513625-2.45436926)×0.000383495516771859×R²
    0.000766989999999801×0.000383495516771859×6371000²
    0.000766989999999801×0.000383495516771859×40589641000000     		ar = 11908325.0100177m²