Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7296 / 3200
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
W 19.687500°		 ← 705.10 m → N 73.226700°
W 19.665527°		 →
↑
705.21 m
↓
↑
705.21 m
↓
N 73.220358°
W 19.687500°		 ← 705.35 m →
497 329 m²		 N 73.220358°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445343017578125 y=0.195343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445343017578125 × 214)
    floor (0.445343017578125 × 16384)
    floor (7296.5)     		tx = 7296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195343017578125 × 214)
    floor (0.195343017578125 × 16384)
    floor (3200.5)     		ty = 3200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7296 / 3200 ti = "14/7296/3200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7296/3200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7296 ÷ 214
    7296 ÷ 16384     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3200 ÷ 214
    3200 ÷ 16384     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7296 KachelY 3200 -0.34361170 1.27804701 -19.687500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 7297 KachelY 3200 -0.34322820 1.27804701 -19.665527 73.226700
    Unten links KachelX 7296 KachelY + 1 3201 -0.34361170 1.27793632 -19.687500 73.220358
    Unten rechts KachelX + 1 7297 KachelY + 1 3201 -0.34322820 1.27793632 -19.665527 73.220358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27793632) × R
    0.00011069000000008 × 6371000     		dl = 705.205990000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27793632) × R
    0.00011069000000008 × 6371000     		dr = 705.205990000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34322820) × cos(1.27804701) × R
    0.000383500000000037 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 705.095131272515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34322820) × cos(1.27793632) × R
    0.000383500000000037 × 0.288691635871637 × 6371000     		du = 705.354067055066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27793632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.288691635871637)×R²
    abs(-0.34322820--0.34361170)×0.000105978824170461×R²
    0.000383500000000037×0.000105978824170461×6371000²
    0.000383500000000037×0.000105978824170461×40589641000000     		ar = 497328.612132576m²