Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7296 / 7296
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W 19.687500°		 ← 2 305.81 m → N 19.311143°
W 19.665527°		 →
↑
2 305.92 m
↓
↑
2 305.92 m
↓
N 19.290405°
W 19.687500°		 ← 2 306.10 m →
5 317 353 m²		 N 19.290405°
W 19.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445343017578125 y=0.445343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445343017578125 × 214)
    floor (0.445343017578125 × 16384)
    floor (7296.5)     		tx = 7296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445343017578125 × 214)
    floor (0.445343017578125 × 16384)
    floor (7296.5)     		ty = 7296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7296 / 7296 ti = "14/7296/7296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7296/7296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7296 ÷ 214
    7296 ÷ 16384     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7296 ÷ 214
    7296 ÷ 16384     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7296 KachelY 7296 -0.34361170 0.33704303 -19.687500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 7297 KachelY 7296 -0.34322820 0.33704303 -19.665527 19.311143
    Unten links KachelX 7296 KachelY + 1 7297 -0.34361170 0.33668109 -19.687500 19.290405
    Unten rechts KachelX + 1 7297 KachelY + 1 7297 -0.34322820 0.33668109 -19.665527 19.290405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33668109) × R
    0.000361940000000005 × 6371000     		dl = 2305.91974000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33668109) × R
    0.000361940000000005 × 6371000     		dr = 2305.91974000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34322820) × cos(0.33704303) × R
    0.000383500000000037 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 2305.81147602015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34322820) × cos(0.33668109) × R
    0.000383500000000037 × 0.943856284847703 × 6371000     		du = 2306.10376785849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33668109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.943856284847703)×R²
    abs(-0.34322820--0.34361170)×0.000119630995132569×R²
    0.000383500000000037×0.000119630995132569×6371000²
    0.000383500000000037×0.000119630995132569×40589641000000     		ar = 5317353.25808111m²