Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 73 / 87
↖ ↑ ↗
← S 54.162434°
E 25.312500°		 ← 183.103 km → S 54.162434°
E 28.125000°		 →
↑
179.484 km
↓
↑
179.484 km
↓
S 55.776573°
E 25.312500°		 ← 175.889 km →
32 218.9 km²		 S 55.776573°
E 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57421875 y=0.68359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57421875 × 27)
    floor (0.57421875 × 128)
    floor (73.5)     		tx = 73
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68359375 × 27)
    floor (0.68359375 × 128)
    floor (87.5)     		ty = 87
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 73 / 87 ti = "7/73/87"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/73/87.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73 ÷ 27
    73 ÷ 128     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87 ÷ 27
    87 ÷ 128     		y = 0.6796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6796875 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12900985985156))-π/2
    2×atan(0.323353263018262)-π/2
    2×0.312741761588495-π/2
    0.62548352317699-1.57079632675     		φ = -0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73 KachelY 87 0.44178647 -0.94531280 25.312500 -54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 74 KachelY 87 0.49087385 -0.94531280 28.125000 -54.162434
    Unten links KachelX 73 KachelY + 1 88 0.44178647 -0.97348484 25.312500 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 74 KachelY + 1 88 0.49087385 -0.97348484 28.125000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94531280--0.97348484) × R
    0.0281720400000001 × 6371000     		dl = 179484.06684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94531280--0.97348484) × R
    0.0281720400000001 × 6371000     		dr = 179484.06684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.49087385) × cos(-0.94531280) × R
    0.04908738 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 183103.413315982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.49087385) × cos(-0.97348484) × R
    0.04908738 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 175889.283402185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94531280)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.562421509722991)×R²
    abs(0.49087385-0.44178647)×0.0230678172028133×R²
    0.04908738×0.0230678172028133×6371000²
    0.04908738×0.0230678172028133×40589641000000     		ar = 32218865526.9771m²