Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7300 / 3204
↖ ↑ ↗
← N 36.456636°
E140.800781°		 ← 3 930.24 m → N 36.456636°
E140.844726°		 →
↑
3 931.10 m
↓
↑
3 931.10 m
↓
N 36.421283°
E140.800781°		 ← 3 932.03 m →
15 453 679 m²		 N 36.421283°
E140.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.89117431640625 y=0.39117431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.89117431640625 × 213)
    floor (0.89117431640625 × 8192)
    floor (7300.5)     		tx = 7300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39117431640625 × 213)
    floor (0.39117431640625 × 8192)
    floor (3204.5)     		ty = 3204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7300 / 3204 ti = "13/7300/3204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7300/3204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7300 ÷ 213
    7300 ÷ 8192     		x = 0.89111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3204 ÷ 213
    3204 ÷ 8192     		y = 0.39111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.89111328125 × 2 - 1) × π
    0.7822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.45743722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.684155431377441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45743722} λ = 2.45743722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.684155431377441))-π/2
    2×atan(1.98209711139983)-π/2
    2×1.10354232969133-π/2
    2.20708465938266-1.57079632675     		φ = 0.63628833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45743722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63628833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.456636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7300 KachelY 3204 2.45743722 0.63628833 140.800781 36.456636
    Oben rechts KachelX + 1 7301 KachelY 3204 2.45820421 0.63628833 140.844726 36.456636
    Unten links KachelX 7300 KachelY + 1 3205 2.45743722 0.63567130 140.800781 36.421283
    Unten rechts KachelX + 1 7301 KachelY + 1 3205 2.45820421 0.63567130 140.844726 36.421283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63628833-0.63567130) × R
    0.000617029999999907 × 6371000     		dl = 3931.09812999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63628833-0.63567130) × R
    0.000617029999999907 × 6371000     		dr = 3931.09812999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45743722-2.45820421) × cos(0.63628833) × R
    0.000766989999999801 × 0.804306820171228 × 6371000     		do = 3930.23987986692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45743722-2.45820421) × cos(0.63567130) × R
    0.000766989999999801 × 0.80467331503775 × 6371000     		du = 3932.030754573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63628833)-sin(0.63567130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.804306820171228-0.80467331503775)×R²
    abs(2.45820421-2.45743722)×0.00036649486652196×R²
    0.000766989999999801×0.00036649486652196×6371000²
    0.000766989999999801×0.00036649486652196×40589641000000     		ar = 15453679.1845991m²