Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 735 / 160
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 78.398437°		 ← 8 899.58 m → N 76.840817°
E 78.750000°		 →
↑
8 926.22 m
↓
↑
8 926.22 m
↓
N 76.760541°
E 78.398437°		 ← 8 952.90 m →
79 677 580 m²		 N 76.760541°
E 78.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71826171875 y=0.15673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71826171875 × 210)
    floor (0.71826171875 × 1024)
    floor (735.5)     		tx = 735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15673828125 × 210)
    floor (0.15673828125 × 1024)
    floor (160.5)     		ty = 160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 735 / 160 ti = "10/735/160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/735/160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 735 ÷ 210
    735 ÷ 1024     		x = 0.7177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 160 ÷ 210
    160 ÷ 1024     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7177734375 × 2 - 1) × π
    0.435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.36831086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.36831086} λ = 1.36831086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.36831086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.398437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 735 KachelY 160 1.36831086 1.34112525 78.398437 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 736 KachelY 160 1.37444679 1.34112525 78.750000 76.840817
    Unten links KachelX 735 KachelY + 1 161 1.36831086 1.33972418 78.398437 76.760541
    Unten rechts KachelX + 1 736 KachelY + 1 161 1.37444679 1.33972418 78.750000 76.760541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.33972418) × R
    0.00140107 × 6371000     		dl = 8926.21697000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.33972418) × R
    0.00140107 × 6371000     		dr = 8926.21697000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.36831086-1.37444679) × cos(1.34112525) × R
    0.0061359299999999 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 8899.57949012551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.36831086-1.37444679) × cos(1.33972418) × R
    0.0061359299999999 × 0.229021305609969 × 6371000     		du = 8952.90317598847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.33972418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.229021305609969)×R²
    abs(1.37444679-1.36831086)×0.00136405587285071×R²
    0.0061359299999999×0.00136405587285071×6371000²
    0.0061359299999999×0.00136405587285071×40589641000000     		ar = 79677579.8993537m²