Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 736 / 736
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
E 78.750000°		 ← 18.589 km → S 61.606397°
E 79.101563°		 →
↑
18.539 km
↓
↑
18.539 km
↓
S 61.773123°
E 78.750000°		 ← 18.489 km →
343.700 km²		 S 61.773123°
E 79.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71923828125 y=0.71923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71923828125 × 210)
    floor (0.71923828125 × 1024)
    floor (736.5)     		tx = 736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71923828125 × 210)
    floor (0.71923828125 × 1024)
    floor (736.5)     		ty = 736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 736 / 736 ti = "10/736/736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/736/736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 736 ÷ 210
    736 ÷ 1024     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 736 ÷ 210
    736 ÷ 1024     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 736 KachelY 736 1.37444679 -1.07523446 78.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 737 KachelY 736 1.38058271 -1.07523446 79.101563 -61.606397
    Unten links KachelX 736 KachelY + 1 737 1.37444679 -1.07814438 78.750000 -61.773123
    Unten rechts KachelX + 1 737 KachelY + 1 737 1.38058271 -1.07814438 79.101563 -61.773123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07814438) × R
    0.00290992000000001 × 6371000     		dl = 18539.1003200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07814438) × R
    0.00290992000000001 × 6371000     		dr = 18539.1003200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.38058271) × cos(-1.07523446) × R
    0.00613592000000018 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 18589.2369228842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.38058271) × cos(-1.07814438) × R
    0.00613592000000018 × 0.472964130311865 × 6371000     		du = 18489.0883934375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07814438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.472964130311865)×R²
    abs(1.38058271-1.37444679)×0.0025618711492868×R²
    0.00613592000000018×0.0025618711492868×6371000²
    0.00613592000000018×0.0025618711492868×40589641000000     		ar = 343699638.895358m²