Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 736 / 992
↖ ↑ ↗
← S 83.979259°
E 78.750000°		 ← 4 100.29 m → S 83.979259°
E 79.101563°		 →
↑
4 087.82 m
↓
↑
4 087.82 m
↓
S 84.016022°
E 78.750000°		 ← 4 075.35 m →
16 710 299 m²		 S 84.016022°
E 79.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71923828125 y=0.96923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71923828125 × 210)
    floor (0.71923828125 × 1024)
    floor (736.5)     		tx = 736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.96923828125 × 210)
    floor (0.96923828125 × 1024)
    floor (992.5)     		ty = 992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 736 / 992 ti = "10/736/992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/736/992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 736 ÷ 210
    736 ÷ 1024     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 992 ÷ 210
    992 ÷ 1024     		y = 0.96875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.96875 × 2 - 1) × π
    -0.9375 × 3.1415926535     		Φ = -2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.94524311265625))-π/2
    2×atan(0.0525892731441516)-π/2
    2×0.0525408725809301-π/2
    0.10508174516186-1.57079632675     		φ = -1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 736 KachelY 992 1.37444679 -1.46571458 78.750000 -83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 737 KachelY 992 1.38058271 -1.46571458 79.101563 -83.979259
    Unten links KachelX 736 KachelY + 1 993 1.37444679 -1.46635621 78.750000 -84.016022
    Unten rechts KachelX + 1 737 KachelY + 1 993 1.38058271 -1.46635621 79.101563 -84.016022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.46571458--1.46635621) × R
    0.00064163000000006 × 6371000     		dl = 4087.82473000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.46571458--1.46635621) × R
    0.00064163000000006 × 6371000     		dr = 4087.82473000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.38058271) × cos(-1.46571458) × R
    0.00613592000000018 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 4100.29424564076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.38058271) × cos(-1.46635621) × R
    0.00613592000000018 × 0.10425035274758 × 6371000     		du = 4075.34919344958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.46571458)-sin(-1.46635621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.10425035274758)×R²
    abs(1.38058271-1.37444679)×0.000638112310576366×R²
    0.00613592000000018×0.000638112310576366×6371000²
    0.00613592000000018×0.000638112310576366×40589641000000     		ar = 16710299.2902719m²