Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73720 / 73720
↖ ↑ ↗
← S 21.922663°
E 22.478028°		 ← 283.28 m → S 21.922663°
E 22.480774°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
S 21.925211°
E 22.478028°		 ← 283.28 m →
80 258 m²		 S 21.925211°
E 22.480774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562442779541016 y=0.562442779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562442779541016 × 217)
    floor (0.562442779541016 × 131072)
    floor (73720.5)     		tx = 73720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562442779541016 × 217)
    floor (0.562442779541016 × 131072)
    floor (73720.5)     		ty = 73720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73720 / 73720 ti = "17/73720/73720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73720/73720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73720 ÷ 217
    73720 ÷ 131072     		x = 0.56243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73720 ÷ 217
    73720 ÷ 131072     		y = 0.56243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56243896484375 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.39231558649054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39231559} λ = 0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39231558649054))-π/2
    2×atan(0.675490904515438)-π/2
    2×0.594086836498367-π/2
    1.18817367299673-1.57079632675     		φ = -0.38262265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38262265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.922663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73720 KachelY 73720 0.39231559 -0.38262265 22.478028 -21.922663
    Oben rechts KachelX + 1 73721 KachelY 73720 0.39236352 -0.38262265 22.480774 -21.922663
    Unten links KachelX 73720 KachelY + 1 73721 0.39231559 -0.38266712 22.478028 -21.925211
    Unten rechts KachelX + 1 73721 KachelY + 1 73721 0.39236352 -0.38266712 22.480774 -21.925211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38262265--0.38266712) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38262265--0.38266712) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39231559-0.39236352) × cos(-0.38262265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927688648310687 × 6371000     		do = 283.280888856281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39231559-0.39236352) × cos(-0.38266712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927672044307525 × 6371000     		du = 283.275818624169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38262265)-sin(-0.38266712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927688648310687-0.927672044307525)×R²
    abs(0.39236352-0.39231559)×1.66040031625014e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66040031625014e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66040031625014e-05×40589641000000     		ar = 80257.9614511562m²