Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73727 / 90111
↖ ↑ ↗
← S 55.775028°
E 22.497253°		 ← 171.78 m → S 55.775028°
E 22.500000°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
S 55.776573°
E 22.497253°		 ← 171.78 m →
29 506 m²		 S 55.776573°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562496185302734 y=0.687496185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562496185302734 × 217)
    floor (0.562496185302734 × 131072)
    floor (73727.5)     		tx = 73727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687496185302734 × 217)
    floor (0.687496185302734 × 131072)
    floor (90111.5)     		ty = 90111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73727 / 90111 ti = "17/73727/90111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73727/90111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73727 ÷ 217
    73727 ÷ 131072     		x = 0.562492370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90111 ÷ 217
    90111 ÷ 131072     		y = 0.687492370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562492370605469 × 2 - 1) × π
    0.124984741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39265114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687492370605469 × 2 - 1) × π
    -0.374984741210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.17804930816288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39265114} λ = 0.39265114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17804930816288))-π/2
    2×atan(0.307878729736889)-π/2
    2×0.298669221718322-π/2
    0.597338443436643-1.57079632675     		φ = -0.97345788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39265114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.497253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97345788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.775028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73727 KachelY 90111 0.39265114 -0.97345788 22.497253 -55.775028
    Oben rechts KachelX + 1 73728 KachelY 90111 0.39269908 -0.97345788 22.500000 -55.775028
    Unten links KachelX 73727 KachelY + 1 90112 0.39265114 -0.97348484 22.497253 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 73728 KachelY + 1 90112 0.39269908 -0.97348484 22.500000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97345788--0.97348484) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97345788--0.97348484) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39265114-0.39269908) × cos(-0.97345788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562443801412899 × 6371000     		do = 171.784814254835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39265114-0.39269908) × cos(-0.97348484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 171.778005798949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97345788)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562443801412899-0.562421509722991)×R²
    abs(0.39269908-0.39265114)×2.22916899080827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22916899080827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22916899080827e-05×40589641000000     		ar = 29505.5460357618m²