Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73728 / 73728
↖ ↑ ↗
← S 21.943045°
E 22.500000°		 ← 283.30 m → S 21.943045°
E 22.502747°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
S 21.945593°
E 22.500000°		 ← 283.29 m →
80 263 m²		 S 21.945593°
E 22.502747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562503814697266 y=0.562503814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562503814697266 × 217)
    floor (0.562503814697266 × 131072)
    floor (73728.5)     		tx = 73728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562503814697266 × 217)
    floor (0.562503814697266 × 131072)
    floor (73728.5)     		ty = 73728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73728 / 73728 ti = "17/73728/73728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73728/73728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73728 ÷ 217
    73728 ÷ 131072     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73728 ÷ 217
    73728 ÷ 131072     		y = 0.5625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5625 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3926990816875))-π/2
    2×atan(0.675231906663356)-π/2
    2×0.593908967165888-π/2
    1.18781793433178-1.57079632675     		φ = -0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73728 KachelY 73728 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 73729 KachelY 73728 0.39274702 -0.38297839 22.502747 -21.943045
    Unten links KachelX 73728 KachelY + 1 73729 0.39269908 -0.38302286 22.500000 -21.945593
    Unten rechts KachelX + 1 73729 KachelY + 1 73729 0.39274702 -0.38302286 22.502747 -21.945593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38297839--0.38302286) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38297839--0.38302286) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39274702) × cos(-0.38297839) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 283.299408174735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39274702) × cos(-0.38302286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927539153715829 × 6371000     		du = 283.294332402773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38297839)-sin(-0.38302286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.927539153715829)×R²
    abs(0.39274702-0.39269908)×1.66186777899036e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66186777899036e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66186777899036e-05×40589641000000     		ar = 80263.2075296335m²