Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73736 / 40968
↖ ↑ ↗
← N 55.764213°
E 22.521973°		 ← 171.80 m → N 55.764213°
E 22.524719°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 55.762668°
E 22.521973°		 ← 171.80 m →
29 520 m²		 N 55.762668°
E 22.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562564849853516 y=0.312564849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562564849853516 × 217)
    floor (0.562564849853516 × 131072)
    floor (73736.5)     		tx = 73736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312564849853516 × 217)
    floor (0.312564849853516 × 131072)
    floor (40968.5)     		ty = 40968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73736 / 40968 ti = "17/73736/40968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73736/40968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73736 ÷ 217
    73736 ÷ 131072     		x = 0.56256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40968 ÷ 217
    40968 ÷ 131072     		y = 0.31256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56256103515625 × 2 - 1) × π
    0.1251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39308258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31256103515625 × 2 - 1) × π
    0.3748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17771374986554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39308258} λ = 0.39308258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17771374986554))-π/2
    2×atan(3.24694238816158)-π/2
    2×1.27203272564317-π/2
    2.54406545128634-1.57079632675     		φ = 0.97326912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39308258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97326912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.764213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73736 KachelY 40968 0.39308258 0.97326912 22.521973 55.764213
    Oben rechts KachelX + 1 73737 KachelY 40968 0.39313051 0.97326912 22.524719 55.764213
    Unten links KachelX 73736 KachelY + 1 40969 0.39308258 0.97324215 22.521973 55.762668
    Unten rechts KachelX + 1 73737 KachelY + 1 40969 0.39313051 0.97324215 22.524719 55.762668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97326912-0.97324215) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97326912-0.97324215) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39308258-0.39313051) × cos(0.97326912) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.562599864863911 × 6371000     		do = 171.796636812476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39308258-0.39313051) × cos(0.97324215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.56262216154944 × 6371000     		du = 171.803445373631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97326912)-sin(0.97324215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562599864863911-0.56262216154944)×R²
    abs(0.39313051-0.39308258)×2.22966855288886e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22966855288886e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22966855288886e-05×40589641000000     		ar = 29519.691528498m²