Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73746 / 73746
↖ ↑ ↗
← S 21.988895°
E 22.549439°		 ← 283.15 m → S 21.988895°
E 22.552185°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
S 21.991442°
E 22.549439°		 ← 283.14 m →
80 184 m²		 S 21.991442°
E 22.552185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562641143798828 y=0.562641143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562641143798828 × 217)
    floor (0.562641143798828 × 131072)
    floor (73746.5)     		tx = 73746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562641143798828 × 217)
    floor (0.562641143798828 × 131072)
    floor (73746.5)     		ty = 73746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73746 / 73746 ti = "17/73746/73746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73746/73746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73746 ÷ 217
    73746 ÷ 131072     		x = 0.562637329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73746 ÷ 217
    73746 ÷ 131072     		y = 0.562637329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562637329101562 × 2 - 1) × π
    0.125274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39356195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562637329101562 × 2 - 1) × π
    -0.125274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.393561945880661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39356195} λ = 0.39356195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393561945880661))-π/2
    2×atan(0.674649524523498)-π/2
    2×0.593508854386905-π/2
    1.18701770877381-1.57079632675     		φ = -0.38377862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39356195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.549439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38377862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.988895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73746 KachelY 73746 0.39356195 -0.38377862 22.549439 -21.988895
    Oben rechts KachelX + 1 73747 KachelY 73746 0.39360988 -0.38377862 22.552185 -21.988895
    Unten links KachelX 73746 KachelY + 1 73747 0.39356195 -0.38382307 22.549439 -21.991442
    Unten rechts KachelX + 1 73747 KachelY + 1 73747 0.39360988 -0.38382307 22.552185 -21.991442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38377862--0.38382307) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dl = 283.190949999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38377862--0.38382307) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dr = 283.190949999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39356195-0.39360988) × cos(-0.38377862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927256441693032 × 6371000     		do = 283.148909366134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39356195-0.39360988) × cos(-0.38382307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927239797502013 × 6371000     		du = 283.143826862177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38377862)-sin(-0.38382307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927256441693032-0.927239797502013)×R²
    abs(0.39360988-0.39356195)×1.66441910188775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66441910188775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66441910188775e-05×40589641000000     		ar = 80184.4889884822m²