Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73759 / 73759
↖ ↑ ↗
← S 22.022000°
E 22.585144°		 ← 283.08 m → S 22.022000°
E 22.587890°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
S 22.024546°
E 22.585144°		 ← 283.08 m →
80 148 m²		 S 22.024546°
E 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562740325927734 y=0.562740325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562740325927734 × 217)
    floor (0.562740325927734 × 131072)
    floor (73759.5)     		tx = 73759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562740325927734 × 217)
    floor (0.562740325927734 × 131072)
    floor (73759.5)     		ty = 73759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73759 / 73759 ti = "17/73759/73759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73759/73759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73759 ÷ 217
    73759 ÷ 131072     		x = 0.562736511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73759 ÷ 217
    73759 ÷ 131072     		y = 0.562736511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562736511230469 × 2 - 1) × π
    0.125473022460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39418513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562736511230469 × 2 - 1) × π
    -0.125473022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.394185125575722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39418513} λ = 0.39418513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394185125575722))-π/2
    2×atan(0.674229227612385)-π/2
    2×0.593219964414877-π/2
    1.18643992882975-1.57079632675     		φ = -0.38435640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39418513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.585144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38435640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.022000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73759 KachelY 73759 0.39418513 -0.38435640 22.585144 -22.022000
    Oben rechts KachelX + 1 73760 KachelY 73759 0.39423306 -0.38435640 22.587890 -22.022000
    Unten links KachelX 73759 KachelY + 1 73760 0.39418513 -0.38440084 22.585144 -22.024546
    Unten rechts KachelX + 1 73760 KachelY + 1 73760 0.39423306 -0.38440084 22.587890 -22.024546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38435640--0.38440084) × R
    4.44400000000345e-05 × 6371000     		dl = 283.12724000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38435640--0.38440084) × R
    4.44400000000345e-05 × 6371000     		dr = 283.12724000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39418513-0.39423306) × cos(-0.38435640) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927039950567247 × 6371000     		do = 283.082801196487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39418513-0.39423306) × cos(-0.38440084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927023286315161 × 6371000     		du = 283.077712566642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38435640)-sin(-0.38440084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927039950567247-0.927023286315161)×R²
    abs(0.39423306-0.39418513)×1.66642520854632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66642520854632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66642520854632e-05×40589641000000     		ar = 80147.7318426549m²